Александр Косолапов родился в 1943 году в Москве. Он был учеником Московской средней художественной школы при художественном институте им. Сурикова, а позже (с 1962 по 1968 год) обучался на скульптурном факультете Московского высшего художественно-промышленного училища. В 1975 году Косолапов эмигрировал в США и сейчас живет и работает в Нью-Йорке.
Несмотря на всеобщее признание, работы Косолапова вызывают неоднозначную реакцию. Так, его произведение "Горби I" упоминается в книге американского писателя-постмодерниста Дона Делилло "Мао II", а работа "Моя плоть" была уничтожена религиозным фанатиком в 2005 году.